Pokud jste měli co dočinění s vysokoškolskou matematikou, s integrály jste se stoprocentně museli setkat. Někteří o nich možná slyšeli už na střední škole či na gymnáziu. Trocha opakování však ještě nikomu neuškodila. K čemu integrály slouží a jak se s nimi pracuje?
Co je to integrál
Objev integrálu je spojen hned se dvěma velkými jmény matematiky – Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem. Tito dva vědci nezávisle na sobě stvořili základní větu analýzy, která spojila diferenciální počet a integrální počet. Integrál zobecňuje pojmy jako je součet, objem, suma či plocha. A k čemu vám bude umět integrály? Pokud se naučíte výpočet integrálu, budete si moct spočítat například plochu pod křivkou.
Integrál a derivace
Integrál patří k hlavním pojmům matematiky. Integrace, tedy proces hledání primitivní funkce, je jednou ze dvou hlavních operací matematické analýzy. Tou druhou je derivace. Vztah mezi integrováním a derivováním udává základní věta integrálního počtu. Podle ní jsou integrace a derivace k sobě navzájem inverzními operacemi. To přesněji znamená, že integrál je primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce f. Funkce f, kterou integrujeme, se pak nazývá integrand.
Výpočet integrálu
Integrace je tedy obráceným procesem k derivaci. Pokud umíte derivovat, snadno se naučíte i integrovat. Představte si například funkci f (x) = 2x, kterou chcete integrovat podle proměnné x. Ze základních vzorců pro derivace víme, že takovou funkci lze získat derivací funkce f (x) = x². Tato funkce je tedy integrálem funkce f (x) = 2x, tedy primitivní funkcí F. Pozor však na to, že derivace konstanty je nula. To pro tento případ znamená, že hledanou primitivní funkcí F může být také funkce f (x) = x² + c, kde c je libovolná konstanta.
Maturitní zkouška Matematika+ ověří znalosti potřebné ke studiu na VŠ
Integrály a vzorce
Integrály samozřejmě není nutné pokaždé odvozovat z derivací. Tato ilustrace slouží pouze k tomu, abyste pochopili, co se při integrování vlastně děje. Stejně jako pro derivace, tak i pro integrály existuje seznam vzorců, přičemž ty jsou v podstatě obrácenými vzorci pro derivace. Podle nich se pak integrují jednotlivé elementární funkce. Oproti derivování je proces integrování možná trochu více kostrbatý, proto je potřeba si práci se vzorci trochu více procvičit.
Určitý a neurčitý integrál
Metoda integrování, o které jsme hovořili doteď, se nazývá přímá metoda integrování – ta je základem pro další studium integrálů. Vedle toho pak existuje ještě metoda per partes a metoda integrace substitucí, podle kterých lze integrovat složené funkce. Také jsme doteď mluvili o neurčitém integrálu. Vedle něj existuje také určitý integrál, který se počítá na určitém intervalu (je ohraničen integračními mezemi).
Maturitu z matematiky nezvládla pětina studentů. Z češtiny propadla 2 %
Jak se naučit integrály
Pokud jste se rozhodli pro samostudium integrálů, můžete k tomu využít učebnice matematiky pro gymnázia, případně skripta matematiky určená studentům vysokých škol. Na internetu pak naleznete mnoho stránek, kde je problematika integrálů zevrubně vysvětlena (k oblíbeným patří například Matematika.cz). Pomoci vám mohou také různá videa na youtube.com (podrobné vysvětlení integrálů nabízí například kanál Isabalo.com).
